Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

Лабораторная работа: Решение задач методами Эйлера и Рунге-Кутта

1. Построить кубический сплайн, интерполирующий функцию у = ¦(х) на [1,00; 1,20] для равномерного разбиения с шагом h = 0,04:

¦(х) = ln x

Найти значения в точках 1,05; 1,13; 1,17.

Решение

Построим таблицу значений функции на интервале [1,00; 1,20] с шагом

h = 0,04:

Сплайн-интерполяция таблично заданной функции

1.  На отрезке [a, b] задать одномерную сетку

hx = {xi / xi = xi –1 + hi, hi > 0, i = 1, 2, 3, …, n; x0 = a, xn = b}

и значения yi = f(xi) в узлах сетки xi, i = 0, 1, 2, …, n.

Задать x* Î (a, b).

2.  Положить ai = yj, i = 0, 1, 2, …, n.

3.  Составить и решить трех диагональную систему методом прогонки:

Определить значения коэффициентов ci, i = 0, 1, 2, …, n.

4.  Определить значения коэффициентов di и bi, i = 1, 2, 3, …, n, воспользовавшись формулами:

di = (ci – ci – 1) / hi, i = 1, 2, …

5.  Определить значение индекса 0 < k £ n из условия x* Î [xk – 1, xk].

6.  Вычислить по формуле

S(x*) = Sk(x*) = ak + bk(x* – xk) + (ck / 2)(x* – xk)2 + (dk / 6)(x* – xk)3.

7.  Процесс завершен: S(x*) – результат интерполяции табличных данных в точку x* Î (a, b).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Значение функции в точке находится по формуле:

S(x*) = Sk(x*) = ak + bk(x* – xk) + (ck / 2)(x* – xk)2 + (dk / 6)(x* – xk)3

2. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения на равномерной сетке [a, b] с шагом 0,2 методом Эйлера и классическим методом Рунге-Кутта

, , 0 £ х £ 1

Решение. Метод Эйлера

- разностная аппроксимация Эйлера. Точность метода . Метод Рунге-Кутта

дифференциальный интерполирующий уравнение сплайн

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблиц:

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутта

3. Найти решение задачи безусловной минимизации ¦(х) ® min, х Î R2. Установить множество глобального решения

¦(х) =

Решение

Данная задача решается методом сопряженных направлений (градиентов). Алгоритм данного метода представлен далее.

Метод сопряженных направлений

1  Начать с точки x(0) = (x1(0), x2(0), …, xn(0))т и n-линейно независимых направлений s(i),

i = 1, 2, …, n, которые могут быть выбраны, например, совпадающими с координатными направлениями e(i), i = 1, 2, …, n. Положить k = 1.

2  Начиная с точки x(0) осуществить одномерный поиск для функции f(x) в направлении s(n) и определить точку z(1).

3  Начиная с точки z(1) осуществить последовательно n – 1 одномерный поиск для f(x) сначала в направлении s(1), а затем из полученной точки в направлении s(2) и т. д. до одномерного поиска в направлении s(n – 1) включительно. В результате этих действий будет определена точка x(2).

4  Начиная с точки x(2) осуществить одномерный поиск для f(x) в направлении s(n) и определить точку z(2).

Согласно обобщенному свойству "параллельного подпространства" направление

s(n + 1) = z(2) – z(1)

будет сопряженным по отношению к направлениям s(n), s(n – 1), …, s(n – k + 1) (для k = 1 – только к направлению s(n)).

5  Начиная с точки z(2) осуществить поиск в направлении s(n + 1) и определить x*.

6  Положить k: = k + 1. Если k = n, перейти к выполнению п. 8.

7  Положить z(1): = x* и s(i): = s(i + 1), i = 1, 2, …, n.и перейти к выполнению п. 2.

8  Процесс вычислений завершен: x* – точка минимума функции f(x).

Результаты вычислений удобнее представлять в виде таблицы:

Таблица результатов

Точка (2,-2) – точка минимума функции. В этой точке функция принимает значение .