Статья: Расчет поля симметричного распределения зарядов в неоднородной среде по теореме Гаусса

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Рассмотрим пример сферической системы ρ = ρ(r), кроме того, возможно, имеются заряженные сферы (Ri, σi) и/или точечный заряд qc в центре. Помимо этого, ε = ε(r). Согласно теореме Гаусса,

qinside = 4π r2 Dr = 4π ε0ε(r) r2 Er

(31)

$E_r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0 \varepsilon(r)r^2}q_{inside}, P_r = \frac{\varepsilon(r)-1} {4\pi\varepsilon(r)r^2}q_{inside}$

(32)

$\rho'(r) = -\frac{1}{r^2}\frac{{\rm d}}{{\rm d} r}\left(r^2P_r\right) = -\frac{1}{4\pi r^2}\left[\frac{\varepsilon'(r)} {\varepsilon^2(r)} q_{inside}(r) + \frac{\varepsilon(r)-1}{\varepsilon(r)} q_{inside}'(r)\right]$

(33)

При наличии только объемного стороннего заряда ρ

$\rho'(r) = -\frac{1}{4\pi r^2}\left[\frac{\varepsilon'(r)} {\varepsilon^2(r)} q_{inside}(r) + \frac{\varepsilon(r)-1}{\varepsilon(r)} 4\pi r^2 \rho(r)\right]$

(34)

В точках разрыва ε(r) (на стыке двух диэлектриков) или qinside(r) (в момент "перехода" через заряженную сферу) соответствующая производная ε'(r) или qinside'(r) имеет разрыв. При этом поверхностный связанный заряд составляет:

$\sigma'|_{r=r_0} = -P_r|_{r=r_0+}+P_r|_{r=r_0-}$

(35)

Другие значения r проверять на наличие связанного заряда бессмысленно, так как там заведомо σ' = 0.

Задача. Имеются две концентрические заряженные сферы (σ1, R1 и σ2, R2). Найти Er(r), φ(r) и σ ', если пространство между сферами заполнено однородным диэлектриком с проницаемостью ε.

Решение Такая задача, только без диэлектрика между обкладками, уже была решена нами с использованием теоремы Гаусса. Единственным отличием здесь будет связь Dr(r) и Er(r) в области R1<r<R2: если раньше она была Dr = ε0Er, то теперь Dr = ε0ε Er. Это повлечет за собой некоторые изменения в формулах.

Как и раньше,

qinside = 4π r2 Dr(r)

причем

qinside	=	0 при r<R1
		4πσ1R12 при R1<r<R2
		4πσ1R12+4πσ2R22 при r>R2

Поле на каждом из участков будет

Er	=	0 при r<R1
		$\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0\varepsilon r^2} {\rm при} R_1<r<R_2$
		$\frac{\sigma_1R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0r^2} {\rm при} r>R_2$

При вычислении потенциала мы должны вычислить $\int\limits_r^{+\infty} E_r(\tilde{r}){\rm d}\tilde{r}$ . При этом необходимо правильно выписывать Er на каждoм участке:

φ(r)	=	$\int\limits_r^{R_1}0 {\rm d}\tilde{r} +\int\limits_{R_1}^{R_2} \frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0\varepsilon \tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} + \int\limits_{R_2}^{+\infty} \frac{ \sigma_1R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$0+\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0\varepsilon} \left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right) + \frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{R_2} {\rm при} r<R_1$
φ(r)	=	$\int\limits_{r}^{R_2} \frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0 \varepsilon\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} + \int\limits_{R_2}^{+\infty} \frac{\sigma_1R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$\frac{\sigma_1R_1^2}{\varepsilon_0\varepsilon}\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{R_2}\right) + \frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{R_2} {\rm при} R_1<r<R_2$
φ(r)	=	$\int\limits_{r}^{+\infty} \frac{\sigma_1 R_1^2+\sigma_2R_2^2}{\varepsilon_0\tilde{r}^2}{\rm d}\tilde{r} =$
	=	$\frac{\sigma_1R_1^2+ \sigma_2R_2^2} {\varepsilon_0}\frac{1}{r} {\rm при} r>R_2$

В некоторых выражениях для φ(r) (но не всюду!) появилась дополнительная величина ε.

Для нахождения σ ' на сферах r = R1 и r = R2 нам потребуются значения поляризованности с обеих сторон каждой из сфер:

$P_r\|_{r=R_1-} = 0$	,	$P_r\|_{r=R_1+} = \varepsilon_0(\varepsilon-1)E_r\|_{r=R_1+} = \frac{\sigma_1(\varepsilon -1)}{\varepsilon}$
$P_r\|_{r=R_2-} = \frac{\sigma_1R_1^2(\varepsilon-1)} {\varepsilon R_2^2}$	,	$P_r\|_{r=R_2+} = 0$

Нулевые значения появились из-за отсутствия диэлектрика в областях r<R1 и r>R2. Сразу же находим $\sigma '|_{r=R_1}$ и $\sigma '|_{r=R_2}$ (на других поверхностях никакого связанного заряда нет):

$\sigma '\|_{r=R_1}$	=	$-P_r\|_{r=R_1+} = -\frac{\sigma_1(\varepsilon-1)}{\varepsilon}$
$\sigma '\|_{r=R_2}$	=	$P_r\|_{r=R_2-} = \frac{\sigma_1R_1^2 (\varepsilon-1)}{\varepsilon R_2^2}$

Легко проверить, что суммарный связанный заряд, то есть $4\pi R_1^2\sigma '|_{r=R_1} + 4\pi R_2^2\sigma '|_{r=R_2}$ , равен нулю, как и должно быть.

Задача. Шар радиуса R равномерно заряжен по объему сторонним зарядом ρ. Проницаемость шара ε. Найти Er(r), φ(r), ρ'(r), σ' на краю шара.

Ответ: $E_r(r) = \frac{\rho_0r}{3\varepsilon_0\varepsilon}, r<R;$ $E_r(r) = \frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r^2}, r>R;$

$\left. \right. \varphi(r) = \frac{\rho_0R^2}{3\varepsilon_0}+\frac{\rho_0} {6\varepsilon_0\varepsilon} (R^2-r^2), r<R;$ $\varphi(r) = \frac{\rho_0R^3}{3\varepsilon_0r}, r>R;$

$\left. \right.\rho '=-\frac{\rho_0(\varepsilon-1)}{\varepsilon}, r<R;$ $\sigma '|_{r=R} = \frac{\rho_0R(\varepsilon-1)}{3\varepsilon}$ .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r