Статья: Расчет электрических полей при наличии диэлектриков. Поляризованность. Связанный заряд.

М.И. Векслер, Г.Г. Зегря

Уравнения Максвелла

$div\vec{D} = \rho, rot\vec{E}=\vec{0}$

(28)

и уравнение Пуассона

$div(\varepsilon grad\varphi) = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}$

(29)

применимы при наличии любых диэлектриков. Следует только помнить, что ε может зависеть от координат, и его в общем случае нельзя выносить из-под знака div. Если при решении уравнения Пуассона потенциал φ найден на отдельных участках, то "сшивка" осуществляется согласно условиям

$\varphi|_{x_0+} = \varphi|_{x_0-}, \left.\varepsilon|_{x_0+}\cdot\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}x}\right|_{x_0+}= \left.\varepsilon|_{x_0-}\cdot\frac{{\rm d}\varphi}{{\rm d}x}\right|_{x_0-}$

(30)

Теорема Гаусса как математический закон не теряет свой силы при наличии диэлектриков, но для ее практического использования не только плотность заряда ρ, но и ε должны иметь высокосимметричное распределение. Например, в случае сферической симметрии ε, как и ρ, должен зависеть только от r.

Интегрирование закона Кулона в системах с диэлектриками является недопустимым, за исключением одной искусственной ситуации. Если ε = const во всем пространстве (кроме проводников), то в задачах для вакуума просто заменяем ε0 на произведение ε0ε. В частности, для точечного заряда $\vec{E} = 1/4\pi\varepsilon_0\varepsilon\cdot q\vec{r}_p/r_p^3$ .

Реакция диэлектрика на электрическое поле заключается в поляризации диэлектрика - ориентации дипольных моментов его молекул по полю. Количественно этот эффект тем сильнее, чем выше диэлектрическая проницаемость и чем сильнее поле. Поляризованные молекулы сами являются источниками поля, которое накладывается на внешее поле, что осложняет ситуацию даже при простой геометрии.

Задача: Диэлектрический брусок внесен в поле точечного заряда. В какую сторону (качественно) изменится поле на прямой заряд-брусок в сравнении с тем, каким оно было бы при отсутствии бруска?

Решение - Диэлектрический брусок поляризуется в поле - возникает диполь $\vec{p}$ , ориентированный от заряда q, если q>0. Поле этого диполя накладывается на поле заряда. Направим ось x от заряда в сторону диполя и введем вектор $\vec{r}_d$ от диполя в точку, где оценивается поле. Тогда $\vec{p} = p\vec{i}$ , $\vec{r}_d = r_d\vec{i}$ для x>xd и $\vec{r}_d = -r_d\vec{i}$ для x<xd (xd - координата диполя). По формуле $\vec{E}_d \approx (4\pi\varepsilon_0)^{-1} r_d^{-5}(3\vec{r_d}(\vec{p}\cdot\vec{r_d}) - \vec{p}r_d^2)$ получаем, что поле диполя $\vec{E}_d$ в любом месте оси x направлено в сторону ее положительного направления. Это означает, что при x>0 поле точечного заряда q, существовавшее без диэлектрика, возрастет, а при x<0 - уменьшится.

Количественные характеристики поляризации - вектор поляризованности $\vec{P}$ и связанный заряд ρ '.

$\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}, \vec{P} = \varepsilon_0(\varepsilon-1) \vec{E}$

ρ '

$-div\vec{P}, \sigma '|_{x=x_0} = - P_x|_{x=x_0+} +P_x|_{x=x_0-}$

Места локализации связанного заряда:

- там, где есть свободный заряд ρ

- там, где ε≠ const (диэлектрик неоднороден)

σ ' может быть отлична от 0 (т.е. ρ ' = ∞):

- там, где есть σ (например, обкладки конденсатора)

- там, где имеет место разрыв ε (стык диэлектриков).

Суммарный связанный заряд, проинтегрированный по всему объему тела, равен 0 - иначе тело оказывается изначально заряженным.

Задача. Найти плотность связанного заряда у границы металла с диэлектриком (ε). Заряд металла σ.

Ответ: $\sigma' = -\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}\sigma$ .

Список литературы

1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.

2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.

3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.

Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r