Ранее было показано, что отрезок BD (рис. 4) изображает в масштабе mS передаточную функцию скорости точки В . Перпендикуляр к BD, проведенный через конец этого отрезка (точка D), составляет с прямой, проходящей через точку D и центр вращения кулачка О1, угол давления J. Следовательно, если известно положение оси вращения кулачка, не имея профиля кулачка, можно определить угол давления в различных точках i, построив для них отрезки, изображающие , соответствующие положениям толкателя, определяемым перемещениями (рис. 5 а, б) [1,2,5].

При проектировании механизма, когда положение оси вращения неизвестно, требуется выбрать его таким образом, чтобы любое из текущих значений Ji не превышало допустимых значений [J]. Для этого следует построить зависимость и в каждой позиции провести через конец отрезка кинематической передаточной функции скорости VqBi луч под углом [J] к вектору скорости в этой точке. Каждый луч удовлетворяет равенству J = [J] и ограничивает заштрихованную область допустимых решений (ОДР), в которой выполняется условие Ji [J] для этого положения (рис. 5г). Центр вращения кулачка следует поместить в ОДР, общую для всех положений. Такое решение обеспечит выполнение условия Ji < [J] для полного цикла работы механизма.

Очевидно, что для механизма с поступательно перемещающимся толкателем, максимальные углы давления, как правило соответствуют характерным точкам фазового портрета , в которых текущие значения кинематической передаточной функции скорости принимают максимальные по абсолютной величине значения (рис. 5в). В общем случае лучи, проведенные касательно к фазовому портрету под углом , ограничивают ОДР, а точка пересечения лучей может быть выбрана центром вращения кулачка минимальных размеров.

Рис 5

Для механизма с качающимся толкателем целесообразно сделать аналогичные построения.

Такая геометрическая интерпретация ограничения по углу давления позволяет получить аналитические выражения для определения основных размеров механизма - , (или w). Для этого нужно построить по вычисленным значениям функции перемещения толкателя и передаточной функции скорости кривую : при поступательно движущемся толкателе в прямоугольной системе координат с началом в точке B0 на начальной окружности кулачка (рис 6б), при вращающемся толкателе - в полярной системе координат с началом в точке О2 на оси вращения толкателя (рис 6в). Текущие значения перемещения толкателя откладываются по линии перемещения центра ролика (на рис. 6б - по оси , на рис. 6в - по дуге радиуса 2), а текущие значения передаточной функции скорости соответственно перпендикулярно оси и - вдоль осевой линии толкателя. При построении принято [1,2], что передаточная функция скорости при удалении толкателя положительна, при сближении - отрицательна, т.е. вектор скорости точки В, будучи повернут на 90° в направлении вращения кулачка, совпадает с направлением отрезка кинематической передаточной функции скорости на фазовой плоскости.

Для механизма с качающимся толкателем перемещениям и (рис. 6а) соответствуют углы поворота толкателя (рис. 6в):

и

Из треугольника O2kn в котором известны длины двух сторон: , и угол между ними , определяются расстояние между точками k и n по теореме косинусов и угол d:

Рис. 6

В треугольнике О1kn определяются углы и сторона О1k по теореме синусов:

;

;

;

Межосевое расстояние определяется из треугольника O1kO2 по теореме косинусов:

(16)

Угол между межосевой линией и ближним положением толкателя определяется из треугольника O1kO2 по теореме синусов:

(17)

Радиус начальной окружности кулачка определяется из треугольника O1B0O2 по теореме косинусов:

(18)

Расчетные соотношения для определения размеров кулачкового механизма с поступательно перемещающимся толкателем, получаемые с использованием рис. 6б имеют вид:

Смещение оси толкателя относительно оси вращения кулачка

(19)

Координата ближней точки толкателя

(20)

Радиус начальной окружности кулачка

(21)

При жестких ограничениях на габаритные размеры механизма принимают во внимание, что опасность заклинивания толкателя при силовом замыкании кинематической пары характерна только для фазы удаления, так как на фазе сближения толкатель движется под действием силы упругости пружины. Это позволяет расширить границы ОДР для положения оси вращения кулачка O1 с учетом допустимого угла давления, когда при работе механизма реверсивное движение кулачка не предусмотрено (кулачок вращается только по часовой стрелке либо только против). В таком случае на фазе сближения ограничение по углу давления не вводится или допустимый угол давления на фазе сближения принимается значительно большим, чем на фазе удаления.

На рис. 7 показано несколько ОДР для механизма с поступательно движущимся толкателем:

ОДР - направление вращения кулачка реверсивное, допустимые углы давления при удалении и сближении одинаковы;

Рис. 7

ОДР1 - направление вращения кулачка реверсивное, значения допустимых углов давления на фазе удаления и сближения различны;

ОДР2 - кулачок вращается только против часовой стрелки, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано;

ОДР3 - кулачок вращается только по часовой стрелке, предельное значение угла давления при сближении не регламентировано;

ОДР4 - вращение кулачка реверсивное, смещение направляющей относительно оси вращения кулачка не допускается (= 0).

Требования, предъявляемые к работе кулачкового механизма, определяют соответствующую ОДР, а следовательно, габаритные размеры, , (или w), разные для каждого частного случая, и должны быть отражены при задании исходных данных для расчета на ЭВМ. Необходимо указать сведения о направлении вращения кулачка, допустимом угле давления и относительном расположении осей вращения кулачка и толкателя.

5. Определение координат профиля кулачка

Координаты точек профиля кулачка в программе для ЭВМ рассчитываются в полярной rO1y и декартовой ХO1Y системах координат. Начало координат совпадает с центром вращения кулачка, полярная ось или ось абсцисс проходит через начальную точку В0 на профиле кулачка.

Расчетные формулы для определения параметров кулачка с вращающимся толкателем получаются из схемы, изображенной на рис. 8. Полярные координаты - текущее значение радиуса центрового профиля кулачка и угол , определяющий его положение относительно оси:

(22)

, (23)

где - межосевое расстояние;

2 - длина толкателя;

; (24)

- текущее значение угла поворота толкателя;

- текущее значение обобщенной координаты;

; (25)

. (26)

Рис.8

Координаты точки В профиля кулачка в декартовой системе

. (27)

Текущие значения углов давления

(28)

Координаты центрового профиля кулачка с поступательно перемещающимся толкателем определяются по формулам, выведенным по расчетной схеме, показанной на рис. 9.

Рис.9

Текущее значение радиуса центрового профиля и угол , определяющий его положение относительно полярной оси определяются по формулам :

(29)

, (30)

где

- координата ближней точки толкателя;

i - текущее значение перемещения очки В толкателя,

- внеосность толкателя

- текущее значение угла поворота кулачка;

. (31)

Наибольший радиус кулачка

(32)

где h - максимальное значение перемещения толкателя.

Координаты центрового профиля кулачка в декартовой системе координат

; (33)

. (34)

Текущие значения угла давления

(35)

6. Описание программы расчета кулачкового механизма на ЭВМ

В соответствии с изложенной выше методикой составлена программа QUL для расчета размеров кулачкового механизма и координат профиля кулачка на ЭВМ Программа позволяет выполнять проектирование механизмов с вращающимся и поступательно перемещающимся толкателем при любом направлении вращения кулачка. Блок-схема программы показана на рис. 10.

Перечень исходных данных в порядке их ввода, обозначения и идентификаторы приводятся ниже:

1. Вариант задания на проект - ВАР

2. Ход толкателя, м h Н

3. Угол рабочего профиля кулачка, град j1P FIR

1. Число точек, задаваемых для описания графика

передаточной функции ускорения толкателя - N

5. Допустимый угол давления, град [J] UTD

1. Число точек разрыва передаточной функции

ускорения толкателя - NR

1. Длина коромыслового толкателя, м 2 L2

   или внеосность толкателя , м Е

2. Идентификатор направления вращения кулачка - WR

3. Массив значений, описывающих график

передаточной функции ускорения АQ

10. Массив, содержащий номера точек разрыва - NAQ

и значения функции справа от точек разрыва АQR

Если в исходных данных задана длина коромыслового толкателя, то рассчитываются межосевое расстояние, минимальный радиус и координаты центра вращения кулачка, координаты центрового профиля кулачка в декартовых и полярных координатах, углы давления.

Если в исходных данных не задана длина толкателя (2= 0), то рассчитываются минимальный радиус кулачка, внеосность толкателя (если она не задана), координаты центрового профиля кулачка в декартовых и полярных координатах, углы давления для кулачкового механизма с поступательно перемещающимся толкателем.

Направление вращения кулачка задается идентификатором WR: при вращении по часовой стрелке WR=1, против - WR= -1, при реверсивном движении WR=0.

При вводе исходных данных заданный график ускорений должен быть достаточно точно описан массивом переменных (AQ). Количество элементов N этого массива выбирается целым числом, кратным значению угла рабочего профиля кулачка (FIR1), выраженного в градусах, а число элементов, описывающих функцию ускорения на фазах удаления, дальнего стояния и сближения - числами кратными значениям соответствующих углов , , . Выполнение указанных рекомендаций позволяет разместить элементы массива ускорений точно на границах фаз рабочего профиля кулачка.

Если график функции ускорения имеет точки разрыва, то функция в этих точках должна быть описана особо: кроме значения функции слева от точки разрыва (АQ(I)), входящего в массив (АQ) должен быть указан номер значения функции в массиве в точке разрыва - NАQ(j) и значение функции справа от точки разрыва - (АQR(j)). Значения функции ускорения справа от всех точек разрыва составляют массив (АQR) размерностью NR (NR - число точек разрыва). Например, график ускорений, показанный на рис. 3a, описывается следующим образом:

АQ(i): 35.0; 30.0; 25,0; -12,5; -15.0; -17.5; -20,0; 0,0; -17,5; -15,0:

-12,5; -10,0; 30,0; 35,0.

NAQ(J), AQR(J): 2; -10,0; 6; 0,0; 7; -20,0: 11; 25,0.

В таблице результатов вначале печатаются исходные данные, характерные параметры фазового портрета (FIK), (FIN), (VQK), (VQN) и значения минимальных габаритов механизма (R0), (E) или w (A). Затем для различных углов поворота кулачка (FI1). выводятся на печать массивы значений (АQ), (VQ), (S), координаты профиля кулачка в декартовых (, ) и полярных (PSI, R) координатах и текущие значения углов давления J (TET). Распечатка таблицы результатов приведена в табл. 6.

1. Проектирование кулачковых механизмов графическим методом

Проектирование ведется в последовательности, которая указана в разделе 1.

1. Построение кинематических диаграмм методом графического интегрирования.

Построение начинают с заданного графика кинематической передаточной функции ускорения (рис. 3а, 11а). По оси абсцисс откладывают фазовые углы j1У + j1Д + j1С = jР

Масштаб по оси j вычисляют по формуле м/рад ,

где j1P - угол рабочего профиля, град.,

b - база графиков, мм.

Максимальное значение ординаты графика на фазе удаления задают произвольно, а максимальное значение ординаты на фазе сближения вычисляют по условию равенства площадей из пропорции .

Методом графического интегрирования строят график кинематической передаточной функции скорости толкателя. Для этого на продолжении оси j1 графика выбирают произвольный отрезок интегрирования K1, делят ось абсцисс графика на интервалы, из середины каждого интервала восстанавливают перпендикуляр к оси j1 до пересечения с кривой ,

Таблица 6.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА КУЛАЧКОВОГО МЕХАНИЗМА С КАЧАЮЩИМСЯ ТОЛКАТЕЛЕМ

ВАРИАНТ А

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ: Н=.020 FIR=130.0 WR=0 UTD=30.0 L2=.030

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА: RO=.0533 A=.0716

FIK=30.0 VQK=.026 SK=.008

FIN=100 VQN=-.036 SN=.013

средние значения ординат на каждом шаге проецируют на ось ординат и полученные точки соединяют с концом выбранного отрезка интегрирования.

Лучи, выходящие из точки конца отрезка интегрирования K1, характеризуются углами наклона, которые равны углам наклона касательных, проведенных в соответствующих точках к искомой интегральной кривой VqB(j1). Кривую VqB(j1) строят, проводя на каждом интервале отрезок, параллельный соответствующему лучу исходного графика .Аналогично строят зависимость перемещения толкателя от угла поворота кулачка SB(j1) графическим интегрированием диаграммы VqB(j1), выбрав отрезок интегрирования K2.

Вычисляют масштабы по осям ординат построенных графиков , и , используя известные соотношения (2,5...7) при графическом интегрировании.

2. Определение основных размеров кулачкового механизма.

Основные размеры механизма определяют с помощью фазового портрета, представляющего собой зависимость SB(VqB). Масштабы, выбранные по оси (перемещений) и оси должны быть одинаковыми. Для механизма с поступательно перемещающимся толкателем фазовый портрет строят в декартовой системе координат (рис. 11, б). с вращающимся толкателем - в полярной системе (рис. 12). По оси SB откладывают перемещения толкателя - в первом случае от начала координат в точке B0 вдоль линии перемещения толкателя , во втором - от точке В0 по дуге радиуса L2. проходящей через эту точку. Отрезки, соответствующие перемещениям толкателя откладывают, либо в масштабе mS графика перемещений, либо в масштабе кинематической передаточной функции скорости.

От полученных точек откладывают отрезки кинематических передаточных функций выбранном масштабе, соответственно перпендикулярно линии перемещения толкателя и вдоль толкателя.

Длины отрезков, изображающих кинематические передаточные функции скорости толкателя , вычисляют по формуле

мм,

Для определения направления вектора передаточной функции скорости следует вектор скорости толкателя повернуть на 90° в сторону вращения кулачка. При этом значение передаточной функции считается положительным при удалении толкателя и отрицательным при сближении.

Для удобства построения фазового портрета значения следует свести в таблицу 7.

Таблица 7

Фазовый портрет для механизма с поступательно движущимся толкателем можно построить и методом графического исключения параметра j1 из диаграмм SB(j1), VqB(j1). Для этого проводят вертикальную прямую - ось SB графика SB(VqB) (рис. 11б), продолжают ось j1 графика VqB(j1) до пересечения с осью SB, через полученную точку пересечения проводят прямую под углом q = arctg(mqv / ms) к горизонтали таким образом, чтобы при дальнейшем построении направление вектора передаточной функции соответствовало направлению вращения кулачка. Фазовый портрет строят по точкам. Для выбранной позиции проводят через точку графика VqB(j1) горизонталь до пересечения с прямой, проведенной под углом q, и через полученную точку - вертикаль. Через точку графика SB(j1) в той же позиции проводят горизонтальную прямую до пересечения с построенной вертикалью. Точка пересечения - точка графика SB(VqB) в выбранной позиции. Аналогично получают все остальные точки графика, которые соединяют плавной кривой.

.

Рис.12

Если реверсивное движение кулачка не предусмотрено и значения углов давления на фазе сближения не заданы, достаточно построить только одну ветвь фазового портрета, соответствующую удалению толкателя.

Фазовый портрет для механизма с поступательно перемещающимся толкателем ограничивают в характерных точках лучами, которые проводят под заданными допустимыми углами давления к перпендикулярам, восстановленным в этих точках к векторам кинематических передаточных отношений.

На фазовом портрете механизма с качающимся толкателем лучи проводят в каждом положении. Внутри ограниченной лучами области допустимых решений выбирают положение оси вращения кулачка O1 и определяют искомые размеры кулачкового механизма или и w .

3. Построение профиля кулачка.

При графическом построении профиля кулачка применяют метод обращения движения: всем звеньям механизма условно сообщают угловую скорость, равную - w1. При этом кулачок становится неподвижным, а остальные звенья вращаются с угловой скоростью, равной, но противоположной по направлению угловой скорости кулачка.

При построении профиля кулачка с внеосным поступательно движущимся толкателем (рис. 13), из центра O1 проводят окружности радиусами и e в произвольном масштабе . Касательно к окружности радиуса е проводят линию перемещения толкателя, располагая ее по отношению к центру вращения кулачка таким же образом, как на фазовом портрете и как задано в исходных данных (слева или справа). Точку пересечения линии перемещения толкателя с окружностью радиуса - B0 соединяют с центром О1. От полученного луча O1B0 в направлении w1 откладывают угол рабочего профиля кулачка j1P. Дугу, соответствующую углу j1P делят на части в соответствии с делением оси j1 на графике SB(j1). Через точки деления 1,2,3,... касательно к окружности радиуса е проводят лучи, являющиеся положениями толкателя в обращенном движении. От точек 1,2,3,... , лежащих на окружности радиуса , вдоль проведенных лучей откладывают в масштабе перемещения толкателя в каждой позиции. Соединяя полученные точки плавной кривой, получают теоретический (центровой) профиль кулачка.

Рис. 13

При построении профиля кулачка с качающимся толкателем (рис.14) из центра O1 проводят в масштабе ml окружности радиусами и w. Точку O1 соединяют с произвольно выбранной точкой O20 на окружности радиуса w. От луча O1O20 в направлении -w1 откладывают угол рабочего профиля кулачка j1P.

Рис. 14

Дугу, соответствующую углу j1P делят на части в соответствии с делением оси j1 на графике SB(j1). Из точек O20,O21,O22,... проводят дуги радиусом 2 от точек 0,1,2,... на окружности радиуса . От точек 0, 1, 2, ... по дугам откладывают в масштабе перемещения точки В толкателя - SB. Соединяя полученные точки В0 ...Вк плавной кривой, получают теоретический профиль кулачка. Из прочностных или геометрических соображений выбирают радиус ролика, учитывая соотношения

RP = (0,25-0,4) r0; или RP 0,8 rmin,