Реферат: Динамика твердого тела

Министерство образования и науки
Республики Казахстан

Карагандинский Государственный Университет
имени Е.А.Букетова

Кафедра общей и теоретический физики

Курсовая работа

на тему:

Динамика твердого тела

Подготовил:

________________

Проверил:

________________

Караганды – 2003г.
Введение

o I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси

§ Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна)

§ Свободные оси. Устойчивость свободного вращения

§ Центр удара

o II. Плоское движение твердого тела

§ Кинетическая энергия при плоском движении

Заключение

Введение

В общем случае абсолютно твердое тело имеет 6 степеней свободы, и для описания его движения необходимы 6 независимых скалярных уравнений или 2 независимых векторных уравнения.

Вспомним, что твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, и, следовательно, к нему применимы те уравнения динамики, которые справедливы для системы точек в целом.

Обратимся к опытам.

Возьмем резиновую палку, утяжеленную на одном из концов и имеющую лампочку точно в центре масс (рис. 3.1). Зажжем лампочку и бросим палку из одного конца аудитории в другой, сообщив ей произвольное вращение - траекторией лампочки будет при этом парабола - кривая, по которой полетело бы небольшое тело, брошенное под углом к горизонту.

Рис. 3.1.

Стержень, опирающийся одним из концов на гладкую горизонтальную плоскость (рис.1.16), падает таким образом, что его центр масс остается на одной и той же вертикали - нет сил, которые сдвинули бы центр масс стержня в горизонтальном направлении.

Опыт, который был представлен на рис. 2.2 а, в, свидетельствует о том, что для изменения момента импульса тела существенна не просто сила, а ее момент относительно оси вращения.

Тело, подвешенное в точке, не совпадающей с его центром масс (физический маятник), начинает колебаться (рис. 3.2а) - есть момент силы тяжести относительно точки подвеса, возвращающий отклоненный маятник в положение равновесия. Но тот же маятник, подвешенный в центре масс, находится в положении безразличного равновесия (рис. 3.2б).

Рис. 3.2.

Роль момента силы наглядно проявляется в опытах с "послушной" и "непослушной" катушками (рис. 3.3). Плоское движение этих катушек можно представить как чистое вращение вокруг мгновенной оси, проходящее через точку соприкосновения катушки с плоскостью. В зависимости от направления момента силы F относительно мгновенной оси катушка либо откатывается (рис. 3.За), либо накатывается на нитку (рис. 3.Зб). Держа нить достаточно близко к горизонтальной плоскости, можно принудить к послушанию самую "непослушную" катушку.

Рис. 3.3.

Все эти опыты вполне согласуются с известными законами динамики, сформулированными для системы материальных точек: законом движения центра масс и законом изменения момента импульса системы под действием момента внешних сил. Таким образом, в качестве двух векторных уравнений движения твердого тела можно использовать:

Уравнение движения центра масс

$m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = \sum {\displaystyle {\displaystyle \bf F}}$

(3.1)

Здесь $\bf v}_{{\displaystyle \bf 0}$ - скорость центра масс тела, $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf F}}$ - сумма всех внешних сил, приложенных к телу.

Уравнение моментов

$\frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = \sum {\displaystyle {\displaystyle \bf M}$

(3.2)

Здесь L- момент импульса твердого тела относительно некоторой точки, $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf M}}$ - суммарный момент внешних сил относительно той же самой точки.

К уравнениям (3.1) и (3.2), являющимся уравнениями динамики твердого тела, необходимо дать следующие комментарии:

1. Внутренние силы, как и в случае произвольной системы материальных точек, не- влияют на движение центра масс и не могут изменить момент импульса тела.

2. Точку приложения внешней силы можно произвольно перемещать вдоль линии, по которой действует сила. Это следует из того, что в модели абсолютно твердого тела локальные деформации, возникающие в области приложения силы, в расчет не принимаются. Указанный перенос не повлияет и на момент силы относительно какой бы то ни было точки, так как плечо силы при этом не изменится.

Векторы L и M в уравнении (3.2), как правило, рассматриваются относительно некоторой неподвижной в лабораторной системе XYZ точки. Во многих задачах L и M удобно рассматривать относительно движущегося центра масс тела. В этом случае уравнение моментов имеет вид, формально совпадающий с (3.2). В самом деле, момент импульса тела $\bf L}_{0$ относительно движущегося центра .масс О связан с моментом импульса $\bf L}_{{\displaystyle 0}'$ относительно неподвижной - точки O' соотношением:

${\displaystyle \bf L}_{0} = {\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf p},$

(3.3)

где R - радиус-вектор от O' к О, p - полный импульс тела. Аналогичное соотношение легко может быть получено и для моментов силы:

${\displaystyle \bf M}_{0} = {\displaystyle \bf M}_{{\displaystyle 0}'} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf F},$

(3.4)

где F - геометрическая сумма всех сил, действующих на твердое тело.

Поскольку точка O' неподвижна, то справедливо уравнение моментов (3.2):

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{{\displaystyle 0}'} .$

(3.5)

Тогда

$\frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf p}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}} \right) - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf R}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\times {\displaystyle \bf p} = \left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{{\displaystyle 0}'} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} - {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf F}} \right) - {\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p$

(3.6)

Величина $\bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf R}}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}$ есть скорость точки О в лабораторной системе XYZ. Учитывая (3.4), получим

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} - {\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p}.$

(3.7)

Поскольку движущаяся точка O - это центр масс тела, то $\bf p} = m{\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}$ ( - масса тела), ${\displaystyle \bf v}_{{\displaystyle \bf 0}} \times {\displaystyle \bf p} = 0$ и ${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf L}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} ,$ то есть уравнение моментов относительно движущегося центра масс имеет такой же вид, что и относительно неподвижной точки. Скорости всех точек тела при определении $\bf L}_{0$ следует брать относительно центра масс тела.

Ранее было показано, что произвольное движение твердого тела можно разложить на поступательное (вместе с системой x0y0z0, начало которой находится в некоторой точке - полюсе, жестко связанной с телом) и вращательное (вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс). С точки зрения кинематики выбор полюса особого значения не имеет, с точки же зрения динамики полюс, как теперь понятно, удобно поместить в центр масс. Именно в этом случае уравнение моментов (3.2) может быть записано относительно центра масс (или оси, проходящей через центр масс) как относительно неподвижного начала (или неподвижное оси).

Если $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf F}}$ не зависит от угловой скорости тела, а $\sum {\displaystyle {\displaystyle \bf M}}$ - от скорости центра масс, то уравнения (3.1) и (3.2) можно рассматривать независимо друг от друга. В этом случае уравнение (3.1) соответствует просто задаче из механики точки, а уравнение (3.2) - задаче о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки или неподвижной оси. Пример ситуации, когда уравнения (3.1) и (3.2) нельзя рассматривать независимо - движение вращающегося твердого тела в вязкой среде.

Далее в этой лекции мы рассмотрим уравнения динамики для трех частных случаев движения твердого тела: вращения вокруг неподвижной оси, плоского движения и, наконец, движения твердого тела, имеющего ось симметрии и закрепленного в центре масс.

I. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

В этом случае движение твердого тела определяется уравнением

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} .$

Здесь $L_{\parallel}$ - это момент импульса относительно оси вращения, то есть проекция на ось момента импульса, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси. $M_{\parallel}$ - это момент внешних сил относительно оси вращения, то есть проекция на ось результирующего момента внешних сил, определенного относительно некоторой точки, принадлежащей оси, причем выбор этой точки на оси, как и в случае с $L_{\parallel} ,$ значения не имеет. Действительно (рис. 3.4), $M_{\parallel} = rF\cos \alpha = \rho F,$ где - составляющая силы, приложенной к твердому телу, перпендикулярная оси вращения, $\rho$ - плечо силы относительно оси.

Рис. 3.4.

Поскольку $L_{\parallel} = J\omega$ ( $J = \int {\displaystyle \rho ^{2}} dm$ - момент инерции тела относительно оси вращения), то вместо $\frac{\displaystyle {\displaystyle dL_{\parallel} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel$ можно записать

$\frac{\displaystyle {\displaystyle d}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}\left( {\displaystyle J\omega} \right) = M_{\parallel$

(3.8)

или

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = M_{\parallel} ,$

(3.9)

поскольку в случае твердого тела $J = {\displaystyle \rm const}.$

Уравнение (3.9) и есть основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Его векторная. форма имеет вид:

$J{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{\parallel}$

(3.10)

Вектор $\omega$ всегда направлен вдоль оси вращения, а $\bf M}_{\parallel$ - это составляющая вектора момента силы вдоль оси.

В случае $M_{\parallel}=0$ получаем $\omega = {\displaystyle \rm const},$ соответственно и момент импульса относительно оси $L_{\parallel}$ сохраняется. При этом сам вектор L, определенный относительно какой-либо точки на оси вращения, может меняться. Пример такого движения показан на рис. 3.5.

Рис. 3.5.

Стержень АВ, шарнирно закрепленный в точке А, вращается по инерции вокруг вертикальной оси таким образом, что угол $\alpha$ между осью и стержнем остается постоянным. Вектор момента импульса L, относительно точки А движется по конический поверхности с углом полураствора $\beta = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \pi }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} - \alpha$ однако проекция L на вертикальную ось остается постоянной, поскольку момент силы тяжести относительно этой оси равен нулю.

Кинетическая энергия вращающегося тела и работа внешних сил (ось вращения неподвижна).

Скорость i -й частицы тела

$v_{i} = \omega \rho _{i} ,$

(3.11)

где $\rho _{i}$ - расстояние частицы до оси вращение Кинетическая энергия

$T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }v_{i}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }\rho _{i}^{2} \omega ^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2},$

(3.12)

так как угловая скорость вращения для всех точек одинакова.

В соответствии с законом изменения механической энергии системы элементарная работа всех внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

$\delta A = d\left( {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}J\omega ^{2}} \right) = J\omega \cdot d\omega = M_{\parallel} \omega \cdot dt = M_{{\displaystyle \left\| {\displaystyle } \right.}} \cdot d\varphi$

(3.13)

Работа внешних сил при повороте тела на конечный угол $\varphi _{0}$ равна

$A = {\displaystyle \int\limits_{0}^{\varphi _{0} } {\displaystyle M_{\parallel} } } \cdot d\varphi .$

(3.14)

опустим, что диск точила вращается по инерции с угловое скоростью $\omega _{0} ,$ и мы останавливаем его, прижимая какой-либо предмет к краю диска с постоянным усилием. При этом на диск будет действовать постоянная по величине сила $F_{тр} ,$ направленная перпендикулярно его оси. Работа этой силы

$A_{тр} = - F_{тр} \cdot R\varphi ,$

где - радиус диска, $\varphi$ - угол его поворота. Число оборотов, которое сделает диск до полной остановки,

$n = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle \varphi }}{\displaystyle {\displaystyle 2\pi }}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J\omega _{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 4\pi \cdot F_{тр} \cdot R}}},$

где - момент инерции диска точила вместе с якорем электромотора.

Замечание. Если силы таковы, что $M_{\parallel} = 0,$ то работу они не производят.

Свободные оси. Устойчивость свободного вращения.

При вращении тела вокруг неподвижной оси эта ось удерживается в неизменном положении подшипниками. При вращении несбалансированных частей механизмов оси (валы) испытывают определенную динамическую нагрузку, Возникают вибрации, тряска, и механизмы могут разрушиться.

Если твердое тело раскрутить вокруг произвольной оси, жестко связанной с телом, и высвободить ось из подшипников, то ее направление в пространстве, вообще говоря, будет меняться. Для того, чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы. Возникающие при этом ситуации показаны на рис. 3.6.

Рис. 3.6.

В качестве вращающегося тела здесь использован массивный однородный стержень АВ, прикрепленный к достаточно эластичной оси (изображена двойными штриховыми линиями). Эластичность оси позволяет визуализировать испытываемые ею динамические нагрузки. Во всех случаях ось вращения вертикальна, жестко связана со стержнем и укреплена в подшипниках; стержень раскручен вокруг этой оси и предоставлен сам себе.

В случае, изображенном на рис. 3.6а, ось вращения является для точки В стержня главной, но не центральной, ${\displaystyle \bf L}\parallel \omega.$ Ось изгибается, со стороны оси на стержень действует сила ${\displaystyle \bf F}_{упр} ,$ обеспечивающая его вращение (в НИСО, связанной со стержнем, эта сила уравновешивает центробежную силу инерции). Со стороны стержня на ось действует сила ${\displaystyle {\displaystyle \bf F}}',$ уравновешенная силами $\bf Ф'$ со стороны подшипников.

В случае рис. 3.6б ось вращения проходит через центр масс стержня и является для него центральной, но не главной. Момент импульса относительно центра масс О не сохраняется и описывает коническую поверхность. Ось сложным образом деформируется (изламывается), со стороны оси на стержень действуют силы $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2},$ момент которых обеспечивает приращение $d{\displaystyle \bf L}.$ (В НИСО, связанной со стержнем, момент упругих сил компенсирует момент центробежных сил инерции, действующих на одну и другую половины стержня). Со стороны стержня на ось действуют силы $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ направленные противоположно силам $\bf F}_{упр.1$ и ${\displaystyle \bf F}_{упр.2}.$ Момент сил $\bf {\displaystyle F}'}_{1$ и ${\displaystyle \bf {\displaystyle F}'}_{2} ,$ уравновешен моментом сил $\bf Ф'}_{1$ и ${\displaystyle \bf Ф'}_{2} ,$ возникающих в подшипниках.

И только в том случае, когда ось вращения совпадает с главной центральной осью инерции тела (рис.3.6в), раскрученный и предоставленный сам себе стержень не оказывает на подшипники никакого воздействия. Такие оси называют свободными осями, потому что, если убрать подшипники, они будут сохранять свое направление в пространстве неизменным.

Иное дело, будет ли это вращение устойчивым по отношению к малым возмущениям, всегда имеющим место в реальных условиях. Опыты показывают, что вращение вокруг главных центральных осей с наибольшим и наименьшим моментами инерции является устойчивым, а вращение вокруг оси с промежуточным значением момента инерции - неустойчивым. В этом можно убедиться, подбрасывая вверх тело в виде параллелепипеда, раскрученное вокруг одной из трех взаимно перпендикулярных главных центральных осей (рис. 3.7). Ось AA' соответствует наибольшему, ось BB' - среднему, а ось CC' - наименьшему моменту инерции параллелепипеда. Если подбросить такое тело, сообщив ему быстрое вращение вокруг оси AA' или вокруг оси CC', можно убедиться в том, что это вращение является вполне устойчивым. Попытки заставить тело вращаться вокруг оси BB' к успеху не приводят - тело движется сложным образом, кувыркаясь в полете.

Рис. 3.7.

В телах вращения устойчивой оказывается свободная ось, соответствующая наибольшему моменту инерции. Так, если сплошной однородный диск подвесить к быстровращающемуся валу электромотора (рис. 3.8, ось вращения вертикальна), то диск довольно быстро займет горизонтальное положение, устойчиво вращаясь вокруг центральной оси, перпендикулярной к плоскости диска.

Рис. 3.8.

Центр удара.

Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар.

Рассмотрим сплошной однородный стержень АВ, подвешенный в точке А на горизонтальной, закрепленной в подшипниках оси OO' (рис. 3.9). Если удар (короткодействующая сила F ( нанесен близко к оси вращения, то ось прогибается в направлении действия силы F (рис. 3.9а). Если удар нанесен по нижнему концу стержня, вблизи точки В, то ось прогибается в противоположном направлении (рис. 3.9б). Наконец, если удар нанесен в строго определенную точку стержня, называемую центром удара (рис. 3.9в, точка С), то ось не испытывает никаких дополнительных нагрузок, связанных с ударом. Очевидно, в этом случае скорость поступательного движения, приобретаемого точной А вместе с центром масс O, будет компенсироваться линейной скоростью вращательного движения вокруг центра масс О (оба эти движения инициируются силой F и происходят одновременно).

Рис. 3.9.

Вычислим, на каком расстоянии $\ell$ от точки подвеса стержня находится центр удара. Уравнение моментов относительно оси вращения OO' дает

$J \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F \cdot \ell .$

(3.15)

Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать

$m \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F,$

(3.16)

где - масса тела, $v_{0}$ - скорость центра масс. Если - расстояние от оси до центра масс тела, то

$v_{0} = \omega a,$

(3.17)

и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим

$\ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}}.$

(3.18)

При этом точка C (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника - точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический.

В случае сплошного однородного стержня длиной имеем:

$a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle L}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}, \quad J = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mL^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}},\quad и \quad \ell = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L.$

Замечание. Полученное выражение для $\ell$ (3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А.

Пример 1. При ударах палкой длиной по препятствию рука "не чувствует" удара (не испытывает отдачи) в том случае, если удар приходится в точку, расположенную на расстоянии $L - \ell = L - {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}L$ свободного конца палки.

Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, еcли удар нанесен в точку, находящуюся на высоте

$h = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle ma}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}mR^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle mR}}} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 7}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R$

от поверхности бильярда, то есть на $h - R = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 5}}}R$ выше центра шара. Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад.

Рис. 3.10.

Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.

II. Плоское движение твердого тела.

Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечения тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно - она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же.

Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут:

1. Уравнение движения центра масс

$m{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf F}_{0} .$

(3.19)

2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр масс

$J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf M}_{0} .$

(3.20)

Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки.

В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонное плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела.

Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящее через центр масс (рис. 3.11).

Рис. 3.11.

Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:

$\left\{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{l} {\displaystyle m \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}m{\displaystyle \bf g} + {\displaystyle \bf F}_{тр} + {\displaystyle \bf N};} \\ {\displaystyle J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \bf F}_{тр} .} \\ \end{array}} \right.} \quad \begin{array}{l} (3.21) \\ (3.22) \\ \end{array$

К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d{\displaystyle \bf v}_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf R}\times {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}.$

(3.23)

Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю.

Уравнение движения центра масс (3.1) запишем для проекций ускорения и сил на ось x вдоль наклонной плоскости, а уравнение моментов (3.22) - для проекций углового ускорения и момента силы трения на ось y , совпадающую с осью цилиндра. Направления осей x и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:

$\left\{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{l} {\displaystyle ma = mg\sin \alpha - F_{тр} ;} \\ {\displaystyle J_{0} {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = F_{тр} \cdot R;} \\ {\displaystyle a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} \cdot R.} \\ \end{array}} \right.} \quad \begin{array}{l} (3.24) \\ (3.25) \\ (3.26) \\ \end{array$

откуда

$a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g\sin \alpha }}{\displaystyle {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle mR^{2}}}}}}}.$

(3.27)

Следует подчеркнуть, что $F_{тр}$ - сила трения сцепления - может принимать любое значение в интервале от О до $\left( {\displaystyle F_{тр} } \right)_{макс}$ (сила трения скольжения) в зависимости от параметров задачи. Работу эта сила не совершает, но обеспечивает ускоренное вращение цилиндра при его скатывании с наклонной плоскости. В данном случае

$F_{тр} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle R^{2}}}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g\sin \alpha }}{\displaystyle {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle mR^{2}}}}}}}.$

(3.28)

Если цилиндр сплошной, то

$J_{0} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}mR^{2}; \quad a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 2}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}g\sin \alpha ; \quad F_{тр} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}mg\sin \alpha .$

(3.29)

Качение без проскальзывания определяется условием

$F_{тр} \le kN,$

(3.30)

где - коэффициент трения скольжения, $N = mg\cos \alpha$ - сила реакции опоры. Это условие сводится к следующему:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 3}}}mg\sin \alpha \le kmg\cos \alpha ,$

(3.31)

или

$tg\alpha \le 3k.$

(3.32)

Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12).

Рис. 3.12.

Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движении центра масс и уравнении кинематической связи. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:

$J \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = {\displaystyle \bf R}\times \left( {\displaystyle m{\displaystyle \bf g}} \right).$

(3.33)

Здесь

$J = J_{0} + mR^{2}.$

(3.34)

В проекции на ось вращения (ось y)

$J \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = Rmg \cdot \sin \left( {\displaystyle 180^{0} - \alpha } \right) = Rmg\sin \alpha .$

(3.35)

Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение

$a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle d\omega }}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}R = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle g\sin \alpha }}{\displaystyle {\displaystyle 1 + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} }}{\displaystyle {\displaystyle mR^{2}}}}}}}.$

(3.36)

Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

$T = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle m_{i} v_{i}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} } = {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}} }m_{i} \left( {\displaystyle {\displaystyle \bf v}_{0} + {\displaystyle \bf u}_{i} } \right)^{2},$

(3.37)

где $\bf v}_{0$ - скорость центра масс тела, $\bf u}_{i$ - скорость i-й частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

$T = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v_{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } } + {\displaystyle \bf v}_{0} {\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }{\displaystyle \bf u}_{i} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle 1}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}}{\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }u_{i}^{2} = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle mv_{0}^{2} }}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} + {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J_{0} \omega ^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}},$

(3.38)

так как ${\displaystyle \sum\limits_{i} {\displaystyle m_{i} } }{\displaystyle \bf u}_{i} = 0$ (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кенига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальное энергии:

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J\omega ^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} = mgh = mgx\sin \alpha .$

(3.39)

Здесь - длина наклонной плоскости, $J = J_{0} + mR^{2}$ - момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра $v = \frac{\displaystyle dx}{\displaystyle dt} = \omega R,$ то

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle 2}}} \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle v^{2}}}{\displaystyle {\displaystyle R^{2}}}} = mgx\sin \alpha .$

(3.40)

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

${\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle J}}{\displaystyle {\displaystyle 2R^{2}}}} \cdot 2v{\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} = mg \cdot {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dx}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}} \cdot \sin \alpha ,$

(3.41)

откуда для линейного ускорения $a = {\displaystyle \frac{\displaystyle {\displaystyle dv}}{\displaystyle {\displaystyle dt}}}$ оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения. Последняя, в отличие от случая, когда тело скользит по шероховатой поверхности, не вращаясь, определяется, в соответствии с (3.14), полным углом поворота цилиндра, а не расстоянием, на которое переместилась его ось.

Заключение

Динамика твердого тела на данном этапе используется для тел, движущихся в сплошной среде.

В задаче о полете тела с тремя несущими поверхностями при наличии динамической асимметрии определены условия, при которых проявляются синхронизмы 1:3. С увеличением угловой скорости вращения тела около продольной оси даже на поверхности рассеивания заметно ослабление этого эффекта.

Разработана программа имитационного моделирования комплекса задач по динамике полета противоградовых ракет. С ее помощью построены таблицы введения поправок на установочные углы запуска ракет для наилучшей компенсации вредного влияния ветра.

Создана механико-математическая модель полета бумеранга. Открыта лаборатория навигации и управления.

Разработан и внедрен на аэродинамической трубе А-8 комплекс механического оборудования и сопутствующей измерительной аппаратуры для проведения динамических испытаний моделей. Определены коэффициенты демпфирования поперечных колебаний осесимметричных оперенных тел различного удлинения при раскрутке вокруг собственной оси в до- и сверхзвуковом потоках.

На основе численного решения задачи о плоских движениях аэродинамического маятника (с несущей поверхностью в виде прямоугольной пластины) в несжимаемой жидкости с учетом динамики вихрей определены области существования всех типов движения маятника, включая режимы автоколебаний и авторотации. Открыта лаборатория сверхзвуковой аэродинамики.

Также в институте компьютерных исследований проводят значимые исследования по динамике твердого тела.

Это направление исследований института связано с анализом движения твердого тела с широким применением компьютерных методов.

Компьютерные исследования в динамике твердого тела относятся к отдельной области науки - компьютерной динамике, которая устанавливает общие закономерности движения систем при помощи различных численных методов и алгоритмов.

В сочетании с аналитическими методами, достижениями топологии, анализа, теории устойчивости и других методов компьютерная динамика применяется, главным образом, в исследовании интегрируемых задач, в частности, динамических проблем теории волчков. Такой подход позволяет получить достаточно полное представление о движении, разобраться во всем его многообразии и наглядно представить себе каждое конкретное движение и его особенности.

Помимо анализа интегрируемых ситуаций в институте начато исследование случаев хаотического поведения в динамике твердого тела. Эти исследования, которые ранее почти не проводились, основаны на широком применении высокоточного компьютерного моделирования. Ожидается, что изучение этой области динамики твердого тела позволит получить в перспективе много новых интересных результатов.

Кроме того, в институте проводятся исследования с использованием методов пуассоновой динамики и геометрии, теории групп и алгебр Ли - методов, которые во многом возникли из задач динамики твердого тела.